Momentos de inercia de figuras planas

En esta entrada encontrarás fórmulas para momentos de inercia para figuras planas básicas y cómo utilizar estas fórmulas al calcular el momento de inercia de figuras compuestas por varias figuras rectas.

1. Momento de inercia de figuras planas respecto del eje (momento de inercia axial)

2. Momentos de desviación de figuras planas.

3. Fórmulas para momentos de inercia de figuras simples.

4. Una tarea de ejemplo para calcular el momento de inercia.

Momentos de inercia de figuras planas respecto del eje (momento de inercia axial)

El momento de inercia axial de una figura es la suma de los productos de los campos elementales dA y los cuadrados de sus distancias a este eje.

Fig.1 Momento de inercia axial de la figura - fórmulas

Momento de desviación respecto del sistema de ejes (momento centrífugo)

El momento de desviación de la figura con respecto al eje es la suma de los productos de los campos elementales dA y sus distancias al eje. El momento de desviación a veces se marca con el símbolo de una letra D mayúscula.

Fig.2 Momento de desviación de la figura - patrón

Si una figura tiene al menos un eje de simetría, el momento de desviación de dicha figura es cero.

Podemos utilizar las fórmulas anteriores para determinar los momentos de belleza de cualquier figura por definición utilizando integrales. En esta entrada, sin embargo, me gustaría discutir cómo calcular los momentos de belleza de figuras usando fórmulas para figuras simples sin usar definiciones ni integrales. Te encontrarás con este tipo de tareas muy a menudo.

Para utilizar este método usaremos el Teorema de Steiner. Puedes encontrar más información sobre este método en este post .

Fórmulas para momentos de inercia de figuras simples.

En la siguiente figura encontrará fórmulas para los momentos de inercia y momentos de desviación de figuras rectas básicas. Las fórmulas incluidas en esta tabla son suficientes para resolver problemas que involucran figuras complejas.

Tenga en cuenta que para un triángulo y un cuarto de círculo, el signo del momento de desviación depende de la orientación de la figura con respecto al sistema de coordenadas.

Fig.3 Fórmulas para los momentos de inercia de figuras simples.

Una tarea de ejemplo para calcular el momento de inercia.

La siguiente figura muestra una figura compuesta por un cuadrado, un triángulo y un círculo recortado. Para esta figura calcularemos los momentos de inercia centrales y el momento de desviación.

El diagrama de la figura, todos los cálculos y las gráficas de la figura con el centro de gravedad se generan en mi calculadora de momentos de inercia . Puedes crear cualquier figura compuesta por figuras simples y determinar su centro de gravedad y momento de inercia.

Fig.4 Una figura compuesta por varias figuras simples.

A continuación se detallan instrucciones sobre cómo realizar este tipo de tareas:

1. División de una figura en figuras simples (rectángulos, triángulos, círculos...)

2. Cálculo de superficies y centros de gravedad de estas sencillas figuras.

3. Cálculo del centro de gravedad de toda la figura .

4. Usamos la Fig. 3 para calcular los momentos centrales de inercia y los momentos de desviación para todas las figuras simples (rectángulos, triángulos, círculos...).

5. Cálculo de los momentos centrales de inercia y del momento de desviación para toda la figura mediante el Teorema de Steiner .

De acuerdo con las instrucciones anteriores, para nuestro ejemplo, dividimos la figura en figuras simples:

• A1 - cuadrado, A2 - triángulo, A3 - círculo.

Calculamos las áreas de las figuras y sus centros de gravedad:

• x1,x2,x3 y y1,y2,y3

Luego determinamos el centro de gravedad de toda la figura, que se describe en esta entrada .

Fig.5 Determinar el centro de gravedad de una figura.

Después de calcular el centro de gravedad de la figura, procedemos a calcular el momento de inercia central. Usamos la Fig. 3 y el Teorema de Steiner .

Fig.6 Determinación del momento de inercia central

Tenga en cuenta que las figuras sólidas (cuadrado y triángulo en nuestro ejemplo) se suman en el cálculo del momento de inercia y las figuras cortadas (círculo en nuestro ejemplo) se restan.

Finalmente, creamos un dibujo de nuestra figura con los ejes centrales marcados.

Fig.7 Dibujo de la figura con los ejes centrales marcados

Con esto concluye la entrada Momentos de inercia de figuras planas. Gracias 😊