Flächenträgheitsmomente

In diesem Beitrag finden Sie Formeln für Trägheitsmomente für ebene Grundfiguren und wie Sie diese Formeln zur Berechnung des Trägheitsmoments von Figuren verwenden, die aus mehreren geraden Figuren bestehen.

1. Flächenträgheitsmomente um die Achse (axiales Trägheitsmoment)

2. Biaxiale Flächenträgheitsmoment

3. Formeln für die Trägheitsmomente einfacher Figuren

4. Eine Beispielaufgabe zur Berechnung des Trägheitsmoments

Flächenträgheitsmomente um die Achse (axiales Trägheitsmoment)

Das axiale Trägheitsmoment einer Figur ist die Summe der Produkte der Elementarfelder dA und der Quadrate ihrer Abstände von dieser Achse.

Abb.1 Axiales Trägheitsmoment der Figur - Formeln

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment relativ zur Achse ist die Summe der Produkte der Elementarfelder dA und ihrer Abstände von der Achse. Das biaxiale Flächenträgheitsmoment wird manchmal mit dem Symbol eines Großbuchstabens D gekennzeichnet.

Abb.2 Das biaxiale Flächenträgheitsmoment

Wenn eine Figur mindestens eine Symmetrieachse hat, ist das biaxiale Flächenträgheitsmoment einer solchen Figur Null.

Wir können die obigen Formeln verwenden, um die Schönheitsmomente beliebiger Figuren per Definition mithilfe von Integralen zu bestimmen. In diesem Eintrag möchte ich jedoch diskutieren, wie man die Schönheitsmomente von Figuren mithilfe von Formeln für einfache Figuren berechnen kann, ohne Definitionen und Integrale zu verwenden. Solche Aufgaben werden Ihnen sehr häufig begegnen.

Um diese Methode zu verwenden, verwenden wir den Satz von Steiner. Weitere Informationen zu dieser Methode finden Sie in diesem Beitrag .

Formeln für die Trägheitsmomente einfacher Figuren

In der folgenden Abbildung finden Sie Formeln für die Trägheitsmomente und biaxiale Flächenträgheitsmoment von Grundgeraden. Die in dieser Tabelle enthaltenen Formeln reichen aus, um Probleme mit komplexen Zahlen zu lösen.

Beachten Sie, dass bei einem Dreieck und einem Viertelkreis das Vorzeichen des biaxiale Flächenträgheitsmoment von der Ausrichtung der Figur relativ zum Koordinatensystem abhängt

Abb.3 Formeln für die Trägheitsmomente einfacher Figuren

Eine Beispielaufgabe zur Berechnung des Trägheitsmoments

Die folgende Abbildung zeigt eine Figur bestehend aus einem Quadrat, einem Dreieck und einem ausgeschnittenen Kreis. Für diese Figur berechnen wir die zentralen Trägheitsmomente und das biaxiale Flächenträgheitsmoment.

Das Diagramm der Figur, alle Berechnungen und Diagramme der Figur mit dem Schwerpunkt werden in meinem Trägheitsmomentrechner generiert. Sie können jede Figur aus einfachen Figuren erstellen und deren Schwerpunkt und Trägheitsmoment bestimmen.

Abb.4 Eine Figur, die aus mehreren einfachen Figuren besteht

Nachfolgend finden Sie Anweisungen zur Durchführung dieser Art von Aufgaben:

1. Aufteilung einer Figur in einfache Figuren (Rechtecke, Dreiecke, Kreise...)

2. Berechnung der Flächen und Schwerpunkte dieser einfachen Figuren.

3. Berechnung des Schwerpunkts der gesamten Figur .

4. Wir verwenden Abb. 3, um die zentralen Trägheitsmomente und Abweichungsmomente für alle einfachen Figuren (Rechtecke, Dreiecke, Kreise...) zu berechnen.

5. Berechnung der zentralen Trägheitsmomente und des Abweichungsmoments für die gesamte Figur anhand des Satzes von Steiner .

Gemäß der obigen Anleitung teilen wir für unser Beispiel die Figur in einfache Figuren auf:

• A1 – Quadrat, A2 – Dreieck, A3 – Kreis.

Wir berechnen die Flächen der Figuren und ihre Schwerpunkte:

• x1,x2,x3 und y1,y2,y3

Anschließend ermitteln wir den Schwerpunkt der gesamten Figur, der in diesem Eintrag beschrieben wird.

Abb.5 Bestimmung des Schwerpunkts einer Figur

Nachdem wir den Schwerpunkt der Figur berechnet haben, berechnen wir das zentrale Trägheitsmoment. Wir verwenden Abb. 3 und Steiners Theorem .

Abb.6 Bestimmung des Zentralträgheitsmoments

Beachten Sie, dass bei der Berechnung des Trägheitsmoments feste Figuren (Quadrat und Dreieck in unserem Beispiel) summiert und geschnittene Figuren (in unserem Beispiel Kreis) subtrahiert werden.

Abschließend erstellen wir eine Zeichnung unserer Figur mit markierten Mittelachsen.

Abb.7 Zeichnung der Figur mit markierten Mittelachsen

Damit ist der Eintrag Trägheitsmomente ebener Figuren abgeschlossen. Danke 😊