Schwerpunkt flacher Figuren

In diesem Eintrag:

1. Was ist der Schwerpunkt?

2. Statisches Moment einer ebenen Figur

3. Wie berechnet man den Schwerpunkt einer ebenen Figur?

Schwerpunkt flacher Figuren

Den Schwerpunkt ebener Figuren berechnen wir nach folgenden Formeln:

Abb.1. Formeln für den Schwerpunkt flacher Figuren

wobei Sx und Sy statische Momente um die x- und y-Achse sind, A – die Oberfläche der Figur ist.

Das Diagramm der Figur, alle Berechnungen und die Diagramme der Figur mit dem Schwerpunkt werden in meinem Trägheitsmomentrechner generiert. Sie können jede beliebige Figur aus geraden Figuren erstellen und deren Schwerpunkt festlegen.

Statisches Moment ebener Figuren

Das statische Moment ist eine wichtige Größe bei Problemen zur Bestimmung des Schwerpunkts von Figuren.

Für jede Figur kann das statische Moment anhand der folgenden Formeln berechnet werden:

Abb.2. Formeln für das statische Moment einer beliebigen Figur

Für Figuren, die aus einfachen Figuren bestehen, bei denen wir die Lage der Schwerpunkte kennen, werden wir statische Momente bestimmen, ohne Integrale zu verwenden (uuf😊).

Wir werden die folgenden Muster verwenden:

Abb.3. Formeln für das statische Moment einer aus einfachen Figuren bestehenden Figur

Dabei sind A, x und y die Flächeninhalte und Koordinaten der Schwerpunkte der nachfolgenden Figuren.

Eine Beispielberechnung des statischen Moments für ein Rechteck relativ zur x-Achse ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abb.4. Bestimmung des statischen Moments eines Rechtecks um die x-Achse

In unserem Beispiel ist uns der Schwerpunkt des Rechtecks bekannt und beträgt 0,5h. Wenn wir diesen Abstand mit der Fläche des Rechtecks A multiplizieren, erhalten wir das statische Moment Sx.

Das statische Moment um die Achse kann positive, Null- und negative Werte annehmen. Das Moment hat den Wert 0, wenn die Achse, um die es bestimmt wird, durch den geometrischen Schwerpunkt der Figur verläuft.

Die Einheit des statischen Moments im SI-System ist [m3]

Wie Wikipedia sagt:

Das Koordinatensystem, für das die statischen Momente gleich 0 sind, heißt zentral und seine Achsen heißen Zentralachsen.

Der Schwerpunkt muss nicht innerhalb der Fläche der Figur liegen. Ein Beispiel wäre ein Kanalprofil.

Berechnung des Schwerpunkts einer ebenen Figur

Sobald wir alle Formeln kennen, versuchen wir, den Schwerpunkt der Figur wie in der folgenden Abbildung zu berechnen:

Abb.5. Bestimmung des statischen Moments einer T-förmigen Figur.

Wie Sie sehen, lässt sich die Figur in zwei Rechtecke teilen. Markieren wir zunächst die Lage der Schwerpunkte jedes Rechtecks in der Zeichnung.

Wir können das Koordinatensystem an jedem Punkt übernehmen. Es lohnt sich, ein solches System zu übernehmen, bei dem sich die gesamte Figur im ersten Quadranten befindet, wodurch die Koordinaten der Schwerpunkte jeder Figur positiv sind.

Abb.5. Bestimmung des statischen Moments einer Figur, Aufteilung in einfache Figuren.

Kommen wir zur Berechnung einzelner Größen, beginnend mit den Flächen und statischen Momenten einzelner Rechtecke. Dann berechnen wir die Summen der statischen Momente für die gesamte Figur und berechnen die Koordinaten des Schwerpunkts.

Abb.6. Berechnung statischer Momente und des Schwerpunkts einer Figur.

Wie Sie sehen, liegt die horizontale Lage des Schwerpunkts in der Symmetrieachse der Figur. Wenn die Figur eine Symmetrieachse hat, liegt der Schwerpunkt auf dieser und muss nicht berechnet werden.

Abb.7. Eine Figur mit markiertem Schwerpunkt und Mittelachsen

Vielen Dank, hier geht es um den Schwerpunkt flacher Figuren.