Moments d'inertie des figures planes

Dans cette entrée, vous trouverez des formules pour les moments d'inertie des figures planes de base et comment utiliser ces formules lors du calcul du moment d'inertie de figures composées de plusieurs figures droites.

1. Moment d'inertie des figures planes autour de l'axe (moment d'inertie axial)

2. Moment produit d'inertie des figures plates

3. Formules pour les moments d'inertie de figures simples

4. Un exemple de tâche de calcul du moment d'inertie

Moments d'inertie des figures planes autour de l'axe (moment d'inertie axial)

Le moment d'inertie axial d'une figure est la somme des produits des champs élémentaires dA et des carrés de leurs distances à cet axe.

Fig.1 Moment d'inertie axial de la figure - formules

Moment produit d'inertie autour du système d'axes

Moment produit d'inertie de la figure par rapport à l'axe est la somme des produits des champs élémentaires dA et de leurs distances à l'axe. Le moment de la déviation est parfois marqué du symbole d'une lettre majuscule D.

Fig.2 Moment produit d'inertie

Si une figure a au moins un axe de symétrie, le moment produit d'inertie d'une telle figure est nul.

Nous pouvons utiliser les formules ci-dessus pour déterminer les moments de beauté de n'importe quelle figure par définition à l'aide d'intégrales. Dans cette entrée, cependant, je voudrais traiter de la méthode de calcul des moments de beauté des figures en utilisant des formules pour des figures simples sans utiliser de définitions ni d'intégrales. Vous rencontrerez très souvent ce type de tâches.

Pour utiliser cette méthode, nous utiliserons le théorème de Steiner. Vous pouvez trouver plus d'informations sur cette méthode dans cet article .

Formules pour les moments d'inertie de figures simples

Dans la figure ci-dessous, vous trouverez des formules pour les moments d'inertie et les moments de déviation des figures droites de base. Les formules incluses dans ce tableau sont suffisantes pour résoudre des problèmes impliquant des figures complexes.

A noter que pour un triangle et un quart de cercle, le signe du moment produit d'inertie dépend de l'orientation de la figure par rapport au repère

Fig.3 Formules pour les moments d'inertie de figures simples

Un exemple de tâche de calcul du moment d'inertie

La figure ci-dessous montre une figure composée d'un carré, d'un triangle et d'un cercle découpé. Pour cette figure nous calculerons les moments centraux d'inertie et le moment de déviation.

Le schéma de la figure, tous les calculs et les graphiques de la figure avec le centre de gravité sont générés dans mon calculateur de moment d'inertie . Vous pouvez créer n'importe quelle figure composée de figures simples et déterminer son centre de gravité et son moment d'inertie.

Fig.4 Une figure composée de plusieurs figures simples

Vous trouverez ci-dessous des instructions sur la façon d'effectuer ce type de tâches :

1. Division d'une figure en figures simples (rectangles, triangles, cercles...)

2. Calcul des surfaces et des centres de gravité pour ces chiffres simples.

3. Calcul du centre de gravité de la figure entière .

4. Nous utilisons la Fig. 3 pour calculer les moments centraux d'inertie et les moments de déviation pour toutes les figures simples (rectangles, triangles, cercles...).

5. Calcul des moments centraux d'inertie et du moment de déviation pour l'ensemble de la figure à l'aide du théorème de Steiner .

Selon les instructions ci-dessus, pour notre exemple, nous divisons la figure en figures simples :

• A1 - carré, A2 - triangle, A3 - cercle.

On calcule les aires des figures et leurs centres de gravité :

• x1,x2,x3 et y1,y2,y3

Ensuite, nous déterminons le centre de gravité de la figure entière, qui est décrite dans cette entrée .

Fig.5 Détermination du centre de gravité d'une figure

Après avoir calculé le centre de gravité de la figure, nous procédons au calcul du moment d'inertie central. Nous utilisons la figure 3 et le théorème de Steiner .

Fig.6 Détermination du moment d'inertie central

Notez que les figures solides (carré et triangle dans notre exemple) sont additionnées lors du calcul du moment d'inertie et que les figures coupées (cercle dans notre exemple) sont soustraites.

Enfin, nous créons un dessin de notre figure avec les axes centraux marqués.

Fig.7 Dessin de la figure avec les axes centraux marqués

Ceci conclut l'entrée Moments d'inertie des figures planes. Merci 😊