_edited.png)
Dans cette entrée :
Un exemple de solution à un problème avec une charge continue
La contrainte normale provoquée par les forces de traction et de compression dans une tige prismatique est abordée dans l'entrée Tension et compression. Dans cette entrée, nous avons traité des exemples statiquement déterminés, c'est-à-dire ceux où nous n'avions qu'une seule réaction d'appui et nous avons pu la déterminer à partir de la condition d'équilibre.
Tâches hyperstatiques
Nous allons maintenant nous occuper d'exemples un peu plus difficiles, c'est-à-dire statiquement indéterminés. Il s'agit de tâches où la tige est fixée aux deux extrémités (on peut dire qu'elle est placée entre deux parois non mobiles). Dans un tel cas, nous avons deux forces de réaction inconnues de ces contraintes et une seule équation d'équilibre, c'est pourquoi nous parlons d'exemples statiquement indéterminés.
Dans ce cas, nous utilisons l' équation supplémentaire de compatibilité . Cette condition stipule que l'extension totale de la tige doit être nulle. Comme les deux extrémités de la barre ne peuvent pas bouger (elles sont fixes), la déformation totale de notre système est égale à « 0 ».
Vous pouvez rencontrer des tâches dans lesquelles la tige est positionnée verticalement. Peu importe la solution, nous procédons exactement de la même manière.
En ce qui concerne le nombre de fragments dans lesquels nous divisons notre tige, deux facteurs sont importants :
changement de charge - force supplémentaire ou charge continue
modification de la section transversale ou de la rigidité du matériau (module de Young)
Ces deux facteurs influencent la quantité de déformation de notre tige.
Tension et compression hyperstatiques - exemples
Un exemple de solution à un problème de charge ponctuelle
Comme premier exemple, nous allons résoudre un problème avec une tige chargée avec une charge ponctuelle. La tige sera composée de deux parties avec des sections transversales différentes. Le problème sera résolu à l'aide de symboles sans données numériques, ce qui est courant dans ce domaine.
Tous les exemples utilisés dans cet article ont été créés et calculés dans mon Calculateur de compression et de tension. Je vous invite à essayer l'application, avec son aide vous pouvez déterminer les forces normales, la contrainte normale et l'allongement ou le raccourcissement de la barre. |
La figure ci-dessus montre l'exemple que nous allons résoudre. Commençons par étiqueter les réactions dans Ra et Rb dans les supports. Pour rappel, l'expression de la réaction est arbitraire et c'est à nous de décider comment la prendre.
Dans l'étape suivante, nous écrivons l'équation d'équilibre pour les forces dans la direction horizontale et la condition géométrique. Dans notre cas, nous aurons deux intervalles de A à l'application de la force F et du point d'application de la force F au point B. Ensuite, nous écrivons les formules pour les allongements des segments L1 et L2. Après avoir substitué les valeurs connues pour les forces N1 et N2 dans les plages appropriées et le produit de E et A et en égalisant le tout à zéro, nous sommes en mesure de calculer la réaction Ra. Ensuite, après avoir substitué la réaction Ra dans la condition d'équilibre, nous obtenons Rb.
Dans l'étape suivante, connaissant la valeur des réactions d'appui, nous pouvons déterminer la valeur des forces normales (axiales), des contraintes normales et des déformations pour chaque compartiment. Cette étape de calcul est déjà décrite dans l'entrée Tension et compression.
Connaissant toutes les quantités, nous pouvons commencer à dessiner des graphiques montrant l'évolution de ces quantités pour chaque intervalle. Les graphiques sont présentés dans la figure ci-dessous.
Un exemple de solution à un problème avec une charge continue
L'exemple suivant que nous allons analyser est un problème avec une barre avec une charge continue de q = 4 kN/m. La tige sera composée de deux parties avec des sections transversales différentes. Cette fois, la tâche sera résolue à l'aide de données numériques.
La tâche sera également résolue à l'aide d'une calculatrice pour résoudre ce type de tâches.
La figure ci-dessus montre l'exemple que nous allons résoudre. Commençons par étiqueter les réactions dans Ra et Rb dans les supports. Comme vous pouvez le voir, la tige est positionnée verticalement pour vous montrer comment résoudre un tel problème et comment dessiner des graphiques.
Dans l'étape suivante, nous écrivons l'équation d'équilibre et ajoutons une condition géométrique. Dans notre cas, nous aurons deux intervalles de A au début de la charge q et de ce point au point B.
Ensuite, nous écrivons les formules des extensions des sections L1 et L2. Après avoir remplacé les forces N1 et N2 par les quantités connues dans les plages appropriées. Comme vous pouvez le voir, dans le deuxième intervalle, où il y a une charge continue, pour déterminer l'allongement, nous utilisons l'intégrale du quotient de la force normale par le produit du module de Young et de l'aire de la section transversale.
Après avoir résolu cette expression, on obtient la réaction Ra. Puis, après avoir substitué la réaction Ra dans la condition d'équilibre, on obtient Rb.
Dans l'étape suivante, connaissant la valeur des réactions d'appui, nous pouvons déterminer la valeur des forces normales (axiales), des contraintes normales et des déformations pour chaque compartiment. Cette étape de calcul est déjà décrite dans l'entrée Tension et compression .
Connaissant toutes les quantités, nous pouvons commencer à dessiner des graphiques montrant l'évolution de ces quantités pour chaque intervalle. Les graphiques sont présentés dans la figure ci-dessous.
Comme vous pouvez le constater, l'allongement à l'extrémité de la tige est nul, ce qui confirme que nous avons résolu le problème correctement. Ceci conclut l'article Tension et compression hyperstatiques - exemples.
Comments