Efforts internes dans les poutres

Dans cette entrée :

1. Que sont les forces internes et les types de forces internes

2. Détermination des efforts internes d'une poutre

3. Diagrammes de forces internes.

Efforts internes dans les poutres et leurs types

Pour expliquer quelles sont les forces internes dans les poutres, j'utiliserai la méthode de l'intersection mentale. Sur la figure 1. en dessous nous avons un pont soutenu aux deux extrémités par des supports articulés. On introduit des réactions au niveau des appuis et tout le système est en équilibre.

Et si nous coupions mentalement le pont en deux parties maintenant ?

Sans introduire de forces internes à l'intersection, le pont s'effondrera et nos cerfs tomberont à l'eau😊

Par conséquent, pour que les deux parties du pont soient en équilibre, nous devons remplacer l’interaction des fragments du pont par l’application de forces internes.

Figure 1. Forces internes.

Nous distinguons les forces internes (transversales) suivantes :

• N - effore normale (axiale, longitudinale) - dans la poutre, c'est la force agissant dans la direction horizontale x, parallèle à l'axe de la poutre

• T - effort tranchant (transversale) - dans la poutre, c'est la force agissant dans la direction verticale y, perpendiculaire à l'axe de la poutre

• M - moment de flexion

Détermination des efforts internes d'une poutre

Passons à la détermination des efforts internes dans la poutre. Faisons cela en utilisant l'exemple d'une poutre simplement supportée sur la figure 2.

Fig.2. Poutre simplement appuyée - détermination des efforts internes

Les plages sont marquées de chiffres de 1 à 3.

Nous ajoutons une plage lorsqu'une nouvelle charge ou un nouveau support apparaît.

Nous déterminerons tour à tour les efforts internes pour chaque compartiment. Avant de commencer à déterminer les forces, nous devons d'abord discuter de l'étiquetage des forces internes.

Figure 3. Marquage des efforts internes

Sur la figure 3. La méthode de marquage de l'effort normal, de l'effort tranchant et du moment fléchissant est présentée ci-dessus. Les vecteurs dirigés de cette façon ont une valeur positive et vous devez vous en souvenir. Les vecteurs dirigés en sens inverse auront un signe négatif. Comme vous pouvez le constater, la situation est différente du côté gauche et droit du faisceau.

N'oubliez pas que le signe du moment fléchissant utilisé pour déterminer la réaction peut différer de celui utilisé pour les efforts internes. Je conseille de séparer ces deux étapes de prise des signes des moments de flexion.

Figure 4. Marquage du moment de flexion

De plus, comme association d'un signe positif du moment de flexion avec un visage souriant (les extrémités pliées de la poutre créent un sourire). Et le signe négatif crée un visage triste.

Tout d'abord, avant de commencer à calculer les efforts internes, nous devons vérifier la détermination statique et calculer les réactions d'appui .

Le système est statiquement déterminé - nous pouvons procéder à la réaction.

À l'aide des équations d'équilibre, nous calculons les valeurs des réactions d'appui pour une poutre simplement appuyée.

Fig.6. Calcul des réactions de support

Après avoir correctement déterminé les réactions d'appui dans la poutre simplement appuyée , nous pouvons commencer à calculer les efforts internes pour les compartiments individuels.

Le diagramme de poutre et tous les calculs sont générés dans mon calculateur de poutre. Vous pouvez l'utiliser pour obtenir une solution détaillée pour chaque poutre statiquement déterminée.

Compartiment 1

Pour le premier intervalle, x est compris entre 0 et 2 m. J'ai marqué en bleu le système de marquage des forces de cisaillement et normales pour la section transversale gauche .

Fig. 7. Premier compartiment - efforts internes dans la poutre

Force normale N :

Quant à la force N1(x) dans le premier intervalle, c'est -HA (HA est l'opposé de notre système de marquage, d'où le signe moins), qui après substitution de la valeur nous donne 10 [kN]. La valeur est positive, on a donc un étirement de la section transversale. Comme vous pouvez le voir, j'utilise la notation N1(x), ce qui signifie que N1 est une fonction de x. Nous pouvons insérer n'importe quel x de 0 à 2 et nous obtiendrons le résultat de la force normale pour cette coordonnée x.

Afin de tracer des diagrammes de forces internes, nous calculerons des points caractéristiques, c'est-à-dire le début et la fin de l'intervalle.

Force de coupe T :

La force de coupe T1(x) est VA (signe positif, signifiant conforme à notre étiquetage de force de coupe). On a une valeur constante de l'effort de coupe sur tout l'intervalle. Après avoir remplacé Va, nous avons T1=-5,3 [N]

Moment de flexion Mg :

L’étape la plus importante dans la résolution des poutres consiste à déterminer les moments fléchissants. C’est aussi la partie la plus difficile de la résolution des problèmes de faisceaux.

Le moment de flexion est fonction de Va*x. Comme nous le savons, le moment est la force multipliée par le bras. La force est la force de coupe - le bras est notre x. Plus nous sommes éloignés du support A, plus le moment de la réaction VA est grand. Après avoir remplacé x par le début de l'intervalle M1(0) = 0 et la fin de l'intervalle M1(2) = -10,6 [Nm].

S'il n'y a pas de moment concentré appliqué au début ou à la fin de la poutre , la valeur du moment fléchissant sera toujours nulle.

Nous avons désigné le premier compartiment. Passons au suivant.

Compartiment 2

Les gens me demandent souvent si je dois également inclure les forces de la première portée ou les omettre ? La réponse est :

Lorsqu'il s'agit des équations décrivant les forces dans chaque intervalle suivant, nous prenons en compte tout ce qui se passe depuis le début de la poutre, c'est-à-dire que les forces de chaque intervalle précédent sont également prises en compte.

Dans le deuxième intervalle, x est compris entre 2 et 6 m.

J'ai marqué en bleu le système de marquage des forces de cisaillement et normales pour la section transversale gauche.

Fig. 8. Deuxième compartiment - efforts internes dans la poutre

Figure 9. Equations des efforts internes pour la deuxième partie de la poutre

Force normale N :

Quant à la force N2(x) dans le deuxième intervalle, on soustrait la force F2 de la valeur de la précédente, on obtient -HA-F2. Après avoir remplacé les valeurs, cela nous donne 0 [kN], ce qui signifie qu'il n'y a pas de force normale dans cette plage.

Force de coupe T :

La force de coupe T2(x) ajoutée à VA devient F1 Nous avons une valeur constante de la force de coupe sur tout l'intervalle, après avoir substitué Va nous avons T2= 2,7 [N]

Moment de flexion Mg :

À Va*x on obtient F1*(x-2) le signe du moment de F1 est positif. X est réduit de 2 m, c'est-à-dire de la force F1 éloignée du début de notre poutre. Le bras de force réel F1 est (x-2). Après avoir remplacé x par le début de l'intervalle M2(2) = -10,6 [Nm] et la fin de l'intervalle M2(6) = 0,2 [Nm].

Compartiment 3

Dans le dernier intervalle, x est compris entre 6 et 10 m.

J'ai marqué en bleu le système de marquage des forces de cisaillement et normales pour la section transversale gauche.

Fig. 10. Troisième compartiment - efforts internes dans la poutre

Figure 11. Equations des efforts internes pour la troisième partie de la poutre

Force normale N :

Quant à la force N3(x), elle est égale à la force N2, rien ne change.

Force de coupe T :

Dans la formule de la force de coupe T3(x), nous avons la charge continue q multipliée par la longueur sur laquelle elle s'exerce, c'est-à-dire la section (x-6). Après avoir remplacé x par le début de l'intervalle, nous avons T3(6)= 2,7 [N] et la fin de l'intervalle T3(10)= -5,3[N]

Moment de flexion Mg :

Dans l'équation du moment, nous avons tout dans la plage 2. De plus, nous ajoutons M et soustrayons la valeur du moment de la charge continue q. Cette valeur est g multiplié par (x-6), qui nous donne la force, et multiplié par 0,5*(x-6), qui est le bras de la force. Le signe est négatif car le moment de g agira à l’opposé de notre signe positif supposé du moment. Après avoir remplacé x par le début de l'intervalle M3(6) = 5,2 [Nm] et la fin de l'intervalle M3(10) = 0 [Nm].

Nous avons donc fini de déterminer les forces internes de notre poutre. Sur la base des résultats obtenus, des graphiques sont préparés comme sur la figure 12 ci-dessous. Mais nous en parlerons davantage dans la prochaine entrée.

Figure 12. Diagrammes des efforts internes d'une poutre simplement appuyée.

Merci, à un prochain post:Efforts internes dans les poutres .