Centre de gravité (centroïde) des figures planes

Dans cette entrée :

1. Qu'est-ce que le centre de gravité ?

2. Premier moment d'aire d'une figure plane

3. Comment calculer le centre de gravité d'une figure plane ?

Centre de gravité (centroïde) des figures planes

Centre de gravité des figures planes à densité de masse uniforme également appelé centre géométrique ou centre de la figure.

Nous calculons le centre de gravité des figures planes en utilisant les formules suivantes :

Fig.1. Formules pour le centre de gravité des figures planes

où Sx et Sy sont les premiers moments de l'aire dans les directions x et y, A - est l'aire de la surface de la figure.

Tous les exemples de calculs et diagrammes avec le centre de gravité sont générés dans mon Calculateur de moment d'inertie. Vous pouvez créer n'importe quelle figure composée de chiffres simples et calculer son centre de gravité (centroïdes).

Premier moment de la zone

Le premier moment de l'aire est un élément important pour déterminer le centre de gravité des figures.

Pour toute figure, le premier moment peut être calculé à partir des formules suivantes :

Fig.2. Formules pour le moment statique d'une figure quelconque

Le premier moment d'aire d'une forme, autour d'un certain axe, est égal à la somme sur toutes les parties infinitésimales de la forme de l'aire de cette partie multipliée par sa distance à l'axe.

Pour les figures constituées de figures simples dont on connaît les centroïdes, on déterminera les moments statiques sans utiliser d'intégrales (uff.. 😊).

Nous utiliserons les équations suivantes :

Fig.3. Formules pour le moment statique d'une figure composée de chiffres simples

où A, x et y sont l'aire de la surface et les coordonnées du centroïde des figures suivantes.

Le centroïde de chaque partie peut être trouvé dans n'importe quelle liste de centroïdes de formes simples

Un exemple de calcul du premier moment d'aire pour un rectangle par rapport à l'axe x est présenté dans la figure ci-dessous.

Fig.4. Détermination du moment statique d'un rectangle par rapport à l'axe x

Dans notre exemple, le centre de gravité du rectangle est égal à 0,5h. Si l'on multiplie cette distance par l'aire du rectangle A, on obtient le moment statique Sx.

Le premier moment d'aire autour de l'axe peut prendre des valeurs positives, nulles et négatives. Il a une valeur égale à 0 lorsque l'axe autour duquel il est déterminé passe par le centre de gravité géométrique de la figure.

L'unité du premier moment de surface du Système international d'unités est le mètre cube (m3). Dans les systèmes d'ingénierie et de gravitation américains, l'unité est le pied cube (ft3) ou plus communément le pouce3.

Comme le dit Wikipédia :

Le système de coordonnées pour lequel les premiers moments d'aire sont égaux à 0 est appelé central et ses axes sont appelés centroïdes ou axes centraux .

La position du centroïde ne doit pas nécessairement se trouver dans la zone de la figure. Un exemple serait un profil de canal en U.

Calcul du centre de gravité (centroïde) d'une figure plane

Une fois que nous connaissons toutes les formules, essayons de calculer le centre de gravité de la figure comme dans la figure ci-dessous :

Fig.5. Détermination du moment statique d'une figure en forme de T

Comme vous pouvez le voir, la figure peut être divisée en deux rectangles. Commençons par marquer l'emplacement des centres de gravité de chaque rectangle sur le dessin.

Nous pouvons adopter le système de coordonnées à n'importe quel point. Il vaut la peine d'adopter un système tel que la figure entière soit située dans le premier quadrant, grâce à quoi les coordonnées des centres de gravité de chaque figure seront positives.

Fig.5. Détermination du moment statique d'une figure, division en figures simples.

Passons maintenant aux calculs des quantités individuelles, en commençant par les surfaces et les positions des centroïdes des rectangles individuels. Ensuite, nous calculerons les sommes des premiers moments de surface pour l'ensemble de la figure et calculer les coordonnées du centre de gravité (centroïdes).

Fig.6. Calcul du premier moment d'inertie et du centre de gravité d'une figure.

Comme vous pouvez le voir, la position horizontale du centre de gravité se trouve dans l'axe de symétrie de la figure. Si la figure possède un axe de symétrie, le centre de gravité sera situé sur celui-ci et il n'est pas nécessaire de le calculer.

Fig.7. Une figure avec le centre de gravité et les axes centraux marqués

Merci, c'est tout sur le centre de gravité des figures d'avion.