Momenty bezwładności figur płaskich

W tym wpisie znajdziesz wzory na momenty bezwładności dla podstawowych figur płaskich oraz jak stosować te wzory podczas obliczania momentu bezwładności figur złożonych z kilku figur prostych.

1. Moment bezwładności figur płaskich względem osi (osiowy moment bezwładności)

2. Momenty dewiacji figur płaskich

3. Wzory na momenty bezwładności figur prostych

4. Przykładowe zadanie z obliczania momentu bezładności

Momenty bezwładności figur płaskich względem osi (osiowy moment bezwładności)

Osiowym momentem bezwładności figury nazywamy sumę iloczynów pól elementarnych dA oraz kwadratów ich odległości od tej osi.

Rys.1 Osiowy moment bezwładności figury - wzory

Moment dewiacji względem układu osi (moment odśrodkowy)

Momentem dewiacji figury względem osi nazywamy sumę iloczynów pól elementarnych dA oraz ich odległości od osi. Moment dewiacji czasem oznaczany jest symbolem dużej litery D.

Rys.2 Moment dewiacji figury - wzór

Jeśli figura posiada chociaż jedną oś symetrii, moment dewiacji takiej figury wynosi zero.

Powyższe wzory możemy używać do wyznaczania momentów ładności dowolnych figur z definicji przy użyciu całek. W tym wpisie jednak chciałbym się zająć sposobem obliczania momentów ładności figur przy użyciu wzorów na figury proste bez korzystania z definicji i całek. Z zadaniami tego typu spotkasz się bardzo często.

Aby użyć tej metody skorzystamy z Twierdzenia Steinera. O tej metodzie znajdziesz więcej informacji w tym wpisie.

Wzory na momenty bezwładności figur prostych

Na rysunku poniżej znajdziecie wzory na momenty bezwładności oraz momenty dewiacji podstawowych figur prostych. Wzory zawarte w tej tabeli są wystarczające do rozwiązania zadań gdzie mamy figury złożone.

Zwróć uwagę, że dla trójkąta oraz ćwiartki koła znak momentu dewiacji zależy od orientacji figury względem układu współrzędnych

Rys.3 Wzory na momenty bezwładności figur prostych

Przykładowe zadanie z obliczania momentu bezładności

Na rysunku poniżej przedstawiona jest figura złożona z kwadratu, trójkąta i wyciętego koła. Dla tej figury obliczymy centralne momenty bezwładności oraz moment dewiacji.

Schemat figury, wszystkie obliczenia oraz wykresy figury z środkiem ciężkości są wygenerowane w moim kalkulatorze momentów bezwładności. Możesz utworzyć dowolną figurę składającą się z figur prostych i wyznaczyć jej środek ciężkości oraz moment bezwładności.

Rys.4 Figura złożona z kilku figur prostych

Poniżej instrukcja postępowania w tego typu zadaniach:

1. Podział figury na figury proste ( prostokąty, trójkąty, koła..)

2. Obliczenie pól powierzchni oraz środków ciężkości dla tych figur prostych.

3. Obliczenie środka ciężkości całej figury.

4. Obliczenie centralnych momentów bezwładności oraz momentów dewiacji dla wszystkich figur prostych ( prostokąty, trójkąty, koła..) korzystamy z Rys.3

5. Obliczenie centralnych momentów bezwładności oraz momentu dewiacji dla całej figury przy użyciu Twierdzenia Steinera.

Zgodnie z powyższą instrukcją dla naszego przykładu dzielimy figurę na figury proste:

• A1 - kwarat, A2-trójkąt, A3- koło.

Obliczamy pola figur oraz ich środki ciężkości:

• x1,x2,x3 oraz y1,y2,y3
  

Następnie Wyznaczamy środek ciężkości całej figury co zostało opisane w tym wpisie.

Rys.5 Wyznaczanie środka ciężkości figury

Po obliczeniu środka ciężkości figury przystępujemy do obliczenia centralnego momentu bezwładności. Korzystamy z rys.3 oraz Twierdzenia Steinera.

Rys.6 Wyznaczanie centralnego momentu bezwładności

Zwróć uwagę, że figury pełne (kwadrat i trójkąt w naszym przykładzie) są sumowane w obliczeniach momentu bezwładności a figury wycięte (koło w naszym przykładzie) są odejmowane.

Na koniec tworzymy rysunek naszej figury z naniesionymi osiami centralnymi.

Rys.7 Rysunek figury z naniesionymi osiami centralnymi

Na tym zakończymy wpis Momenty bezwładności figur płaskich. Dziękuję 😊