Rozciąganie ściskanie statycznie niewyznaczalne - zadania

W tym wpisie:

1. Sposób rozwiązania zadań statycznie niewyznaczalnych

2. Przykładowe rozwiązanie zadania z siła skupioną

3. Przykładowe rozwiązanie zadania z obciążeniem ciągłym

Naprężenie normalne wywołane siłami rozciągającymi i ściskającymi w pręcie pryzmatycznym zostało omówione we wpisie Rozciąganie i ściskanie. W tym wpisie zajmowaliśmy się przykładami statycznie wyznaczalnymi, czyli takimi gdzie mieliśmy tylko jedną reakcję podporową i byliśmy w stanie ją wyznaczyć z warunku równowagi.

Zadania statycznie niewyznaczalne

Teraz zajmiemy się przykładami nieco trudniejszymi, czyli satatycznie niewyznaczalnymi. To zadania gdzie pręt jest zamocowany na obu swoich końcach (można powiedzieć, że jest umieszczony pomiędzy dwiema nieprzesuwnymi ścianami). W takim przypadku mamy dwie niewiadome siły reakcji tych utwierdzeń i tylko jedno równanie równowagi, więc dlatego mówimy o przykładach statycznie niewyznaczalnych.

Rys.1 Przykład zagadnienia statycznie niewyznaczalnego

W takim przypadku korzystamy z dodatkowego warunku geometrycznej niezmienności. Warunek ten mówi o tym, że całkowite wydłużenie pręta musi być równe zero. Ponieważ oba końce pręta nie mogą się przemieścić (są utwierdzone), więc sumaryczne odkształcenie naszego układu jest równe "0".

Możecie się spotkać z zadaniami, w których pręt jest ustawiony pionowo. Nie ma to znaczenia jeśli chodzi o sposób rozwiązania postępujemy dokładnie tak samo.

Jeśli chodzi o ilość fragmentów na jakie dzielimy nasz pręt to mają znaczenie dwa czynniki:

• zmiana obciążenia - dodaktowa siła lub obciążenie ciągłę

• zmiana pola przekroju lub sztywność materiału ( moduł Younga)

Oba te czynniki mają wpływ na wielkość odkształcenia naszego pręta.

Rozciąganie ściskanie statycznie niewyznaczalne - zadania

Przykładowe rozwiązanie zadania z siła skupioną

Jako pierwszy przykład rozwiążemy zadanie z prętem obciążonym jedną siłą skupioną. Pręt będzie się składał z dwóch części o różnych polach przekroju. Zadanie będzie rozwiązane na symbolach bez danych liczbowych, jest to często spotykane w tej tematyce zadań.

Wszystkie przykłady użyte w tym wpisie zostały utworzone i obliczone w moim Kalkulatorze rozciągania. Zapraszam do wypróbowania aplikacji, z jej pomocą wyznaczysz siły normalne, naprężenie normalne oraz wydłużenie lub skrócenie pręta.

Rys.2 Zadanie statycznie niewyznaczalne - rozciąganie/ściskanie pręta

Na rys powyżej pokazany został przykład, który rozwiążemy. Zacznijmy od oznaczenia reakcji w Ra i Rb w podporach. Dla przypomnienia, zwrot reakcji jest dowolny i to my decydujemy jak je przyjąć.

W kolejnym kroku piszemy równanie równowagi dla sił w kierunku poziomym oraz warunek geometryczny. W naszym przypadku będziemy mieli dwa przedziały od A do przyłożenia siły F oraz od punktu przyłożenia siły F do punktu B. Następnie rozpisujemy wzory na wydłużenia odcinka L1 oraz L2. Po podstawieniu znanych wielkości za siły N1 i N2 w odpowiednich przedziałach oraz iloczynu E i A i przyrównaniu całości do zera jesteśmy w stanie obliczyć reakcję Ra. Następnie po podstawieniu reakcji Ra do warunku równowagi otrzymujemy Rb.

Rys.3. Obliczanie reakcji podpór - zadanie statycznie niewyznaczalne

W kolejnym kroku znając już wartość reakcji podporowych możemy wyznaczyć wartość sił normalnych (osiowych), naprężeń normalnych oraz odkształcenia dla każdego przedziału. Ten etap obliczeń jest już opisany we wpisie Rozciąganie i ściskanie.

Rys.4. Obliczanie sił normalnych, naprężeń normalnych oraz wydłużenia/skrócenia

Znając wszystkie wielkości możemy przystąpić do rysowania wykresów przedstawiających zmianę tych wielkości dla każdego przedziału. Wykresy są umieszczone na rysunku poniżej.

Rys.5.Wykresy sił normalnych, naprężeń normalnych oraz wydłużenia/skrócenia

Przykładowe rozwiązanie zadania z obciążeniem ciągłym

Kolejny przykład jaki przeanalizujemy to zadanie z prętem z obciążeniem ciągłym q=4 kN/m. Pręt będzie się składał z dwóch części o różnych polach przekroju. Tym razem zadanie będzie rozwiązane na danych liczbowych.

Zadanie zostanie również rozwiązane za pomocą kalkulatora do rozwiązywania tego typu zadań.

Rys.6 Zadanie statycznie niewyznaczalne - rozciąganie/ściskanie pręta

Na rys powyżej pokazany został przykład, który rozwiążemy. Zacznijmy od oznaczenia reakcji w Ra i Rb w podporach. Jak widać pręt jest ustawiony pionowo, żeby pokazać Ci jak rozwiązywać takie zadanie i jak rysować wykresy.

W kolejnym kroku piszemy równanie równowagi oraz dodajemy warunek geometryczny. W naszym przypadku będziemy mieli dwa przedziały od A do rozpoczęcia obciążenia q oraz od tego punktu do punktu B.

Następnie rozpisujemy wzory na wydłużenia odcinka L1 oraz L2. Po podstawieniu znanych wielkości za siły N1 i N2 w odpowiednich przedziałach. Jak widzisz w drugim przedziale, gdzie występuje obciążenie ciągłe, do wyznaczenia wydłużenia używamy całki z ilorazu siły normalnej przez iloczyn modułu Younga oraz pola przekroju.

Po rozwiązaniu tego wyrażenia otrzymujemy reakcję Ra. Następnie po podstawieniu reakcji Ra do warunku równowagi otrzymujemy Rb.

Rys.7. Obliczanie reakcji podpór - zadanie statycznie niewyznaczalne

W kolejnym kroku znając już wartość reakcji podporowych możemy wyznaczyć wartość sił normalnych (osiowych), naprężeń normalnych oraz odkształcenia dla każdego przedziału. Ten etap obliczeń jest już opisany we wpisie Rozciąganie i ściskanie.

Rys.8. Obliczanie sił normalnych, naprężeń normalnych oraz wydłużenia/skrócenia

Znając wszystkie wielkości możemy przystąpić do rysowania wykresów przedstawiających zmianę tych wielkości dla każdego przedziału. Wykresy są umieszczone na rysunku poniżej.

Rys.9.Wykresy sił normalnych, naprężeń normalnych oraz wydłużenia/skrócenia

Jak widać wydłużenie na końcu pręta wynosi zero, co jest potwierdzeniem, że dobrze rozwiązaliśmy zadanie. Na tym zakończymy wpis Rozciąganie ściskanie statycznie niewyznaczalne - zadania.