Kratownice metoda równoważenia węzłów-przykładowe zadania

W tym artykule dowiecie się, jak za pomocą metody równoważenia węzłów obliczyć siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej.

1. Metoda równoważenia węzłów

2. Instrukcja rozwiązania kratownicy

3. Metoda równoważenia węzłów - przykładowe rozwiązanie zadania
   

Metoda równoważenia węzłów

Metoda równoważenia (wydzielania) węzłów jest jedną z metod stosowanych do rozwiązywania zadań z zakresu kratownic. Jest to metoda analityczna przez wiele osób uważana za najłatwiejszą, ale przy tym pracochłonną, przy której jest dużo obliczeń, szczególnie jeśli kratownica posiada dużą ilość węzłów i prętów.

Inne metody to:

• Metoda Rittera - analityczno - wykreślna

• Metoda Cremony - wykreślna

Metoda polega na obliczaniu sił normalnych w prętach kratownicy poprzez kolejne wydzielanie węzłów ( czyli punktów w których schodzą się pręty).

Ważne jest aby węzeł który obliczamy posiadał maksymalnie dwa pręty dla których nie znamy sił normalnych. Ponieważ mamy do dyspozycji dwa równania równowagi (siły poziome oraz siły pionowe) momenty z tych równań obliczyć maksymalnie dwie niewiadome siły.

Instrukcja rozwiązania kratownicy

Poniżej znajdziecie przepis, instrukcję w punktach na rozwiązanie kratownicy:

1. Oznaczenie węzłów - kolejne cyfry (1,2,3..) lub litery alfabetu (A,B,C..)

2. Oznaczenie prętów - najczęściej kolejne cyfry (1,2,3..)

3. Oznaczenie reakcji w podporach

4. Obliczenie reakcji podporowych z równań równowagi (Fx, Fy, Mi)

5. Wydzielanie węzłów i obliczanie sił w prętach z równań równowagi (Fx, Fy)

6. Sprawdzenie dla ostatniego węzłą - opcjonalnie

7. Podsumowanie w tabeli (Nr pręta -> Siła normalna)
   

Metoda równoważenia węzłów - przykładowe rozwiązanie zadania

Poniżej umieściłem schemat kratownicy, którą rozwiążemy. Kratownica składa się z 6 węzłów i 9 prętów. Obciążona jest trzema siłami skupionymi P1=2 kN, P2=6 kN i P3=3 kN.

Węzły oznaczyłem cyframi od 1 do 6. W podporach dodane zostały siły reakcji podporowych R1 dla podpory przegubowej przesuwnej w węźle 1. H4 i V4 dla podpory przegubowej nieprzesuwnej w węźle 4. Dla przypomnienia rodzaje podpór i reakcji podporowych znajdziecie w tym wpisie

Rys.1 Schemat kratownicy statycznie wyznaczalnej - metoda równoważenia węzłów

W kolejnym kroku obliczymy reakcje podporowe z trzech równań równowagi.

Rys.2 Wyznaczanie reakcji -kratownica metoda równoważenia węzłów

Wszystkie przykłady użyte w tym wpisie zostały utworzone w moim Kalkulatorze kratownic. W tej aplikacji wyznaczysz reakcje podporowe oraz siły normalne w prętach kratownicy. Obliczenia krok po kroku, rysunki sił w kazdym węźle i obliczenie analityczne. Zapraszam do wypróbowania

Kiedy mamy już obliczone wartości reakcji podporowych możemy przystąpić do kolejnego etapu, czyli wydzielania węzłów. W naszym przypadku zaczniemy od węzła nr 1. W tym węźle mamy dwa niewiadome pręty pręt N1-5 oraz N1-2. Kąt 45 stopni wynika z geometrii układu prętów.

Rys.3 Obliczanie sił w prętach kratownicy dla węzła 1

Na powyższym rysunku przedstawiono rysunek sił dla węzła 1 oraz obliczenia sił w prętach 1-2 oraz 1-5. Siły te są obliczone z warunków równowagi suma rzutów sił poziomych oraz suma rzutów sił pionowych musi wynosić zero. Pręt 1-2 jest rozciągany ponieważ wartość siły jest dodatnia. Natomiast pręt 1-5 jest ściskany ponieważ wartość siły jest ujemna.

Kolejny węzeł jakim się zajmiemy to węzeł nr 4. W tym węźle mamy również dwie niewiadome siły dla pręta 4-3 oraz 4-6. Również korzystamy z warunków równowagi suma rzutów sił poziomych oraz suma rzutów sił pionowych.

Rys.4 Obliczanie sił w prętach kratownicy dla węzła 4

Rysując siły dla kolejnych węzłów pamiętaj o reakcjach lub siłach zewnętrznych przyłożonych do węzła. To częsty błąd w rozwiązaniach metodą równoważenia węzłów jest pomijanie tych sił.

W ten sam sposób postępujemy z kolejnymi węzłami pamiętając o tym żeby maksymalna liczba niewiadomych sił w pręcie wynosiła dwa.

Rys.5 Obliczanie sił w prętach kratownicy dla węzła 3

Rys.6 Obliczanie sił w prętach kratownicy dla węzła 2

Rys.7 Obliczanie sił w prętach kratownicy dla węzła 5

Po obliczeniu wszystkich sił normalnych w prętach przygotowujemy tabele z zestawieniem pręt-siła w pręcie- sposób pracy rozciąganie/ściskanie.

Rys.8 Zestawienie sił normalnych w prętach kratownicy

W tym miejscu zakończymy wpis kratownice metoda równoważenia węzłów- zadania

Dziękuję.